Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B.

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.

Definición

Dado un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ y dos eventos (o sucesos) $A, B\in \mathcal F$ con

P (B) > 0

, la probabilidad condicional de A dado B está definida como:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$

$P(A \mid B)$ se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A.

Interpretación

$P(A \mid B)$ se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza, $P(A \mid B)$ sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe.

Gráficamente, si se interpreta el espacio de la ilustración como el espacio de todos los mundos posibles, A serían los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B el espacio en el que se tiene gripe. La zona verde de la intersección representaría los mundos en los que se tiene gripe y dolor de cabeza $P(A \cap B)$ . En este caso $P(A \mid B)$ , es decir, la probabilidad de que alguien tenga dolor de cabeza sabiendo que tiene gripe, sería la proporción de mundos con gripe y dolor de cabeza (color verde) de todos los mundos con gripe: El área verde dividida por el área de B. Como el área verde representa $P(A \cap B)$ y el área de B representa a

P (B)

, formalmente se tiene que:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$

Propiedades

$P(A \mid B) + P(\bar{A} \mid B) = 1$
$B \subseteq A \to P(A \mid B) = 1$

Pero NO es cierto que $P(A \mid B) + P(A \mid \bar{B}) = 1$

La proporción de zona verde dentro de B es la misma que la de A en todo el espacio y, de la misma forma, la proporción de la zona verde dentro de A es la misma que la de B en todo el espacio. Son sucesos independientes.

Independencia de sucesos

Artículo principal: Independencia (probabilidad)

Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:

$P(A \cap B) \ = \ P(A) P(B).$

O sea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta, $P(A \cap B)$ ó

P (A, B).

puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:

$P(A|B) \ = \ P(A)$

$P(B|A) \ = \ P(B).$

En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa.

Exclusividad mutua

Los conjuntos A y B no intersecan. Son mutuamente excluyentes.

Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y sólo si $A \cap B = \emptyset$ . Entonces, $P(A \cap B) = 0$ .

Además, si

P (B) > 0

entonces $P(A\mid B)$ es igual a 0.

La falacia de la probabilidad condicional

La falacia de la probabilidad condicional se basa en asumir que P(A|B) es casi igual a P(B|A). El matemático John Allen Paulos analiza en su libro El hombre anumérico este error muy común cometido por doctores, abogados y otras personas que desconocen la probabilidad.

La verdadera relación entre P(A|B) y P(B|A) es la siguiente:

$P(B \mid A)= P(A \mid B) \cdot \frac{P(B)}{P(A)}$ (Teorema de Bayes)

Problemas de ejemplo

---La paradoja del falso positivo---

La magnitud de este problema es la mejor entendida en términos de probabilidades condicionales.

Supongamos un grupo de personas de las que el 1 % sufre una cierta enfermedad, y el resto está bien. Escogiendo un individuo al azar:

P (e n f e r m o) = 1% = 0.01

P (s a n o) = 99% = 0.99

Supongamos que aplicando una prueba a una persona que no tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de conseguir un falso positivo, esto es:

P (p o s i t i v o | s a n o) = 1%

P (n e g a t i v o | s a n o) = 99%

Finalmente, supongamos que aplicando la prueba a una persona que tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de un falso negativo, esto es:

P (n e g a t i v o | e n f e r m o) = 1%

P (p o s i t i v o | e n f e r m o) = 99%

Ahora, uno puede calcular lo siguiente:

La fracción de individuos en el grupo que están sanos y dan negativo:

$P( sano \cap negativo) = P(sano) \times P(negativo|sano)=99% \times 99%=98.01%$

La fracción de individuos en el grupo que están enfermos y dan positivo:

$P( enfermo \cap positivo) = P(enfermo) \times P(positivo|enfermo) = 1% \times 99% = 0.99%$

La fracción de individuos en el grupo que dan falso positivo:

$P( sano \cap positivo) = P(sano) \times P(positivo|sano) = 99% \times 1% = 0.99%$

La fracción de individuos en el grupo que dan falso negativo:

$P( enfermo \cap negativo) = P(enfermo) \times P(negativo|enfermo) = 1% \times 1% = 0.01%$

Además, la fracción de individuos en el grupo que dan positivo:

$P( positivo ) = P ( sano \cap positivo ) + P ( enfermo \cap positivo ) = 0.99% + 0.99% = 1.98%$

Finalmente, la probabilidad de que un individuo realmente tenga la enfermedad, dado un resultado de la prueba positivo:

$P(enfermo|positivo) = \frac{P(enfermo \cap positivo)}{P(positivo)}=\frac{0.99%}{1.98%}=50%$

En este ejemplo, debería ser fácil ver la diferencia entre las probabilidades condicionadas P (positivo | enfermo) (que es del 99 %) y P (enfermo | positivo) (que es del 50 %): la primera es la probabilidad de que un individuo enfermo dé positivo en la prueba; la segunda es la probabilidad de que un individuo que da positivo en la prueba tenga realmente la enfermedad. Con los números escogidos aquí, este último resultado probablemente sería considerado inaceptable: la mitad de la gente que da positivo en realidad está sana.

La probabilidad de tener una enfermedad rara es de 0,001:

P (e n f e r m o) = 0,001

La probabilidad de que cuando el paciente está enfermo se acierte en el diagnóstico es de 0,99:

P (p o s i t i v o | e n f e r m o) = 0,99

La probabilidad de falso positivo es de 0,05:

P (p o s i t i v o | s a n o) = 0,05

Pregunta: Me dicen que he dado positivo, ¿Qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?

$P(enfermo|positivo)=\frac{P(enfermo) \times P(positivo|enfermo)}{P(positivo)}$ $P(enfermo|positivo)= P(enfermo) \times \frac{P(positivo|enfermo)}{P(enfermo) \times P(positivo|enfermo)+P(sano) \times P(positivo|sano)}$ $P(enfermo|positivo)=\frac{ 0,001 \times 0,99 }{0,001 \times 0,99+0,999 \times 0,05}= 0,019= 1,9%$

conicas

Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamadaeje, a la que corta de modo oblicuo.La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.Las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

Elipse

La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.α < β <90ºLa elipse es una curva cerrada.

Circunferencia

La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.β = 90ºLa circunferencia es un caso particular de elipse.

Parábola

La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.α = βLa parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.

Hipérbola

La hipérbolasección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónicaα > βLa hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.

Ecuaciones trigonométricas

Fórmulas trigonométricas

Ecuaciones trigonométricas

Para resolver ecuaciones trigonométricas, debemos sustituir lás fórmulas de los ángulos que nos vayan apareciendo.

Ejemplos

Ejercicios con soluciones

Resolución de triángulos no rectángulos

ResolucióN De TriáNgulos No RectáNgulos I - Presentation Transcript
Esta presentación muestra cómo resolver triángulos no rectángulos en el caso de que no tengamos que hacerlo con un sistema de ecuaciones
 Cuando nos enfrentamos a un problema de Trigonometría en el que, una vez “traducido” el problema tenemos un triángulo no rectángulo, comenzaremos siempre dividiendo en triángulo en dos triángulos rectángulos e indicando los datos en cada uno de ellos. Así: a y y B x A Nombramos 55º los vértices C A <----> 15m
26,1517= a y =21,4222 21,4222 55º 22,491º= A <----- x ------> 15m 15 21,4222 sen A = -------- A=22,491º cos 55º= --- a=26,1517 56 a y tan 55º= --- y=21,4222 21,42222+x2=562 x=51,74 15 Resolución del primer Resolución del segundo triángulo rectángulo triángulo rectángulo
 Una vez que tengamos resueltos todos los datos de ambos triángulos se ponen dichos números donde corresponda (en los ángulos o lados del dibujo) y se contesta explícitamente a la pregunta que nos haya hecho el enunciado.  Hay que decir que en todo el proceso no siempre hace falta hallar todos los datos, pero el método de hallarlos todos vale siempre (claro está).

http://www.slideshare.net/juanjo1/resolucin-de-tringulos-no-rectngulos-i

Propiedades

propiedades

Círculo de Dependencia y las funciones trigonométricas sen (x), cos (x) y tan (x)

Usando el círculo de la unidad, usted será capaz de explorar y adquirir conocimiento profundo de algunas de las propiedades, como dominio, rango, asíntotas (si existe) de las funciones trigonométricas.
Las relaciones entre los gráficos (en coordenadas rectangulares) de sin (x) , cos (x) y tan (x) y las coordenadas de un punto en un círculo unitario se exploran mediante un applet.

Definiciones

1 - Sea x un número real y P (x) un punto en un círculo unitario tal que el ángulo en posición estándar cuya terminal lateral es segmento OP es igual a x radianes. (O es el origen del sistema de ejes se utiliza).

2 - Se define el pecado (x) como la coordenada del punto P (x) en el círculo unitario.

3 - Se define cos (x) como la coordenada x de un punto P (x) en el círculo unitario.

4 - Se define tan (x) como la relación de la coordenada y coordenada x del punto P (x) en un círculo unitario.

. Utilizando el círculo de radio unitario observe que el valor del arco circular s es igual al valor del ángulo q expresado en radianes. En una función trigonométrica la variable independiente es el ángulo q y la variable dependiente y, a las funciones donde y es la variable independiente y q la variable dependiente se les conoce como funciones trigonométricas inversas, realice gráficos.

para éstas funciones:

6. Utilice programas como Calc o Excel para obtener cálculos y gráficos de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas.

7. Consulte sobre las funciones hiperbólicas.

Solución de triángulos rectángulos

En un triangulo rectángulo se tienen cinco elementos fundamentales.

Los dos ángulos agudos

Los tres lados

En general se presentan dos casos:

Cuando se conoce un lado y un ángulo

Cuando se conocen dos lados

Resolver el triangulo rectángulo ABC si <A=65°20’ y c=75m.

Datos Incógnitas

<C=90° <B=?

<A=65°20’ a=

c=75m b=

c=75 a=? b=? 65°20’

<B = 90° - <A

= 89°60’ – 65°20’

= 24°40’

Sen A = a/c Cos A = b/c

C Sen A = a c Cos A = b

75 Sen 65°20’ = a 75 Cos 65°20’ = b

75 (0.9088) = a 75 (0.4173) = b

68.16 = a 31.30 = b

Porque ?? c=75 a=? b=? 65°20’

Resolver el triangulo rectángulo ABC si a=45.2m y b=20.5m.

Datos Incógnitas

<C=90° <A=?

a=45.2 <B=

b=20.5 c=

c=?? a=45.2 b=20.5

<A = Tan A = a/b

<A = Tan A = 45.2 /20.5

<A = Tan A = 2.204

<A = A = Tan- 1 2.204

<A = 65°36’

<B = 90 – 65°36’

<B = 89°60’ – 65°36’

<B = 24°24’

c=?? a=45.2 b=20.5

1 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.

2 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.

3 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo.

4 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo.

5 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo.

6 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo.

7 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo.

8 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.

9 Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.

10 Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla

nivelación trigonometrica

miércoles, 26 de octubre de 2011

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Exclusividad mutua

La falacia de la probabilidad condicional

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Circunferencia

Parábola

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