4.1. TEOREMA 1 (Distancia Entre Dos Puntos Del Plano)
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano. La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d =   esta dada por:  (1) Demostración 4.1. En la figura 4.1. hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)  asi como también el segmento de recta    fig 4.1. Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela  al eje y, éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo  rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar la relación pitagórica: Pero:  ;  y  Luego,        Observaciones: i.      En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es  siempre un valor no          negativo. ii.     Nótese además que el orden en el cual se restan las coordenadas  de los puntos P1 y         P2 no afecta el valor de la distancia. iii.    Si el segmento rectilíneo determinado por los puntos P1 y P2 es paralelo  al eje x        (fig.4.2.)  entonces  puesto que y1 = y2

fig. 4.2.

Igualmente, si dicho segmento es paralelo al eje y (fig. 4.2. (b)), entonces

 puesto que x₂ = x₁

....

4.2. COORDENADAS DEL PUNTO QUE DIVIDE A UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA. COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO.
Consideremos el segmento  cuyos extremos son los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) (fig. 4.3.)   fig. 4.3. Sea M (x, y) un punto sobre el segmento  y llamemos  (1)   Se trata entonces de encontrar las coordenadas x e y del punto M en  términos de   y de las coordenadas de los puntos P1 y P2.   Al proyectar los puntos P1, P2 y M sobre los ejes coordenados, resultan  los triángulos rectángulos semejantes P2MH y P1MQ. Entonces podemos  escribir :    (2)   Ahora, de (1)  (Observese que cuando M se mueve de  P1 a P2,   varía de manera continua tomando valores entre 0 y 1)   En consecuencia,  que al sustituir en (2) resulta :    De donde,  (3) y  (4)   Al simplificar las ecuaciones (3) y (4) se obtienen finalmente:    (5)  (6)   Las ecuaciones (5) Y (6) resuelven el problema.