Sistema sexagesimal

Aunque progresivamente ha sido abandonado con el paso del tiempo, el sistema sexagesimal se utilizó con profusión en el pasado para medir ángulos y resolver triángulos y funciones trigonométricas. En la actualidad, se sigue empleando en este contexto, aunque en menor medida. También quedan vestigios del mismo en el sistema horario de división del tiempo.

Definición y usos del sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración de base 60. En sentido estricto, un sistema semejante debería asignar nombres diferentes a los dígitos 1, 2, 3, ..., 59, lo cual resulta a todas luces imposible. Por tanto, en todos los sistemas sexagesimales utilizados a lo largo de la historia se ha empleado una notación basada en el nombre de los dígitos decimales.

En el mundo cotidiano persisten dos aplicaciones muy comunes del sistema sexagesimal:

• La medida de ángulos en grados, minutos y segundos (por ejemplo 23º15?47?). En el Sistema Internacional de unidades, se ha suprimido el grado sexagesimal como medida estándar para reemplazarlo por el radián.
• La subdivisión del tiempo: una hora se divide en 60 minutos y un minuto, en 60 segundos. Este sistema horario se combina con el sistema duodecimal, de base 12, que se emplea para medir el número de horas del día (en dos bloques de doce horas). Nuevamente, estas subdivisiones tienen valor sólo en el mundo cotidiano; en el ámbito científico, se trabaja con el segundo como unidad base de tiempo y con un sistema de numeración decimal, (décimas de segundo, centésimas,... ).

Cambios de base

El cambio de base de sexagesimal a decimal y a la inversa, no ofrece ninguna novedad conceptual con respecto a cualquier otro cambio de este tipo (ver t2). No obstante, como en la práctica no se usan cantidades sexagesimales «puras», sino expresadas en unidades y sus fracciones (grados, minutos y segundos para los ángulos; horas, minutos y segundos para el tiempo), las conversiones presentan ciertas peculiaridades.

Para pasar de una cantidad de tiempo medido en formato sexagesimal a la unidad decimal (el segundo), se procede según la siguiente fórmula de conversión:

h (horas) m (?) s (?) = h × 60² + m × 60 + s (segundos).

Por ejemplo, 2 h 50? 34? = 2 × 60² + 50 × 60 + 34 = 10.234 segundos (símbolo s).

El paso inverso, de decimal a sexagesimal, se efectúa del modo siguiente:

• Dividiendo la cantidad decimal por 60²; el cociente obtenido son las horas.
• Dividiendo el resto de la operación anterior por 60; el cociente son los minutos.
• El resto de esta segunda operación son los segundos.

Medida de ángulos

En el sistema decimal habitual, los ángulos planos se miden en términos de una unidad denominada radián. No obstante, es muy frecuente efectuar esta medida según el sistema de numeración sexagesimal, en grados, minutos y segundos.

• Un radián (símbolo rad) se define como un ángulo central cuyo arco mide un radio de circunferencia. De esta forma, para barrer toda una circunferencia se necesitan 2P radianes.
• Un grado sexagesimal (símbolo º) es la 90ª parte de un ángulo recto, entendido éste como el que forman dos rectas perpendiculares entre sí. Por tanto, una circunferencia completa describe un ángulo de 360º.

La equivalencia entre radianes y grados sexagesimales es la siguiente:

2P rad = 360º Þ P rad = 180º.

El grado sexagesimal se divide en unidades menores llamadas minutos (?) y segundos (?), según las siguientes equivalencias:

1º = 60?, 1? = 60?.

Relaciones entre ángulos

En el estudio de los ángulos se distinguen varias relaciones sencillas que facilitan los cálculos con funciones trigonométricas y la resolución de triángulos:

• Ángulos complementarios son aquellos que suman 90º (P / 2 rad).
• Ángulos suplementarios son los que suman 180º (P rad).
• Cuando dos ángulos suman 360º (2P rad) se llaman opuestos.

Los ángulos que se diferencian en un número exacto de vueltas de circunferencia se consideran equivalentes en el estudio de sus funciones trigonométricas asociadas (por ejemplo, a y b tales que b = a + 2P × n, siendo n un número entero).

EJERCICIOS
1- Determina la longitud del arco generado por un ángulo de 2 radianes 
en una circunferencia de radio r = 4cm.
2- Idem si el ángulo mide 45º y la circunferencia es de radio r = 2cm.
3- Determina la medida del ángulo correspondiente a un arco  de 6,9 cm 
de longitud subtendido en una circunferencia de radio r = 3 cm.
4- Una milla marítima se define como la longitud del arco subtendido en 
la superficie de la Tierra por un ángulo que mide 1 minuto. El
diámetro de la Tierra es aproximadamente 7.927 millas (terrestres).
Determina la cantidad de millas (terrestres) que hay en una milla
marítima.