Distancia entre dos puntos

 Distancia entre dos puntos 

 Distancia entre dos puntos.  La circunferencia 
Considérense, en el plano cartesiano, dos puntos:    ( , )   y   Q .  1 1
P x y ( , )
2 2
x y
En el caso en que         y      1 2
x < x
1 2
y < y ,   puede construirse el triángulo   PAQ,   con 
( , ) .   Véase la figura  1 2
A x y
El triángulo  PAQ   es rectángulo, con    PQ   como hipotenusa. 
La distancia entre   P   y   Q   es la longitud de    PQ .   El Teorema de Pitágoras lleva a: 
2
1 2
2
1 2
d (P, Q) = (x − x ) + ( y − y )
Es fácil probar que esta fórmula es válida con independencia de las relaciones entre   x1   y
x2   y entre   y1   y   y2. 
Ejemplo: 
Calcúlese la distancia entre los puntos    A(−1,2)   y    ( . 3,2)
Solución 
Considérese un punto   C(h, k)   y un real positivo   r. 
El conjunto de los puntos del plano cuya distancia a   C   es   r   se denomina circunferencia 
de centro   C   y radio   r. 
Sea    P(x, y)   un punto cualquiera de la circunferencia. Así,    d (   P,C) = r
Es decir,    x − h + y − k = r
2 2
(   ) ( )
De esta ecuación se obtiene: 
( ) ( )
2 2 2
x − h + y − k = r
Esta última, se conoce como ecuación de la circunferencia de centro   C   y radio   r. 
Ejemplo: 
Encuéntrese la ecuación de la circunferencia que pasa por    A(3,−1)   y tiene centro 
C(−2,−3) . 
Solución  (Véase la figura   ) 
El cuadrado del radio es: 
( ( )) ( ( ))
2 2 2
r = 3 − − 2 + − 3 − −1
            29
2
r =
La ecuación de la circunferencia es: 
( 2) ( 3) 29
2 2
x + + y + =
Ejercicio:
Encuéntrese la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:    ,      
y   C
A(−2,8) B(3,3)
(1,7)
Respuesta:
( )2 ( 3) 25